closed subspace and closed sets
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(U \subseteq X\) Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- jede abgeschlossene Menge \(A\) in der Unterraumtopologie \(\mathcal{T}_U\) ist abgeschlossen in \(\mathcal{T}\)
- \(U\) ist abgeschlossen in \(\mathcal{T}\)
2. Beweis
2.1. a)
insbesondere ist der ganze Raum \(U\) in einer Topologie abgeschlossen, d.h. nach Annahme folgt, auch \(X \setminus U \in \mathcal{T}\)
2.2. b)
Sei \(U\) abgeschlossen in \(\mathcal{T}\) und sei \(A\) abgeschlossen in \(\mathcal{T}_U\) so ist \(B_U \coloneqq U \setminus A\) offen. Nach defintion existiert eine offene Menge \(B \in \mathcal{T}\), so dass gilt \(B_U = B \cap U\) daraus folgt, dass \(X \setminus B\) abgeschlossen ist und wegen der Abgeschlossenheit vom Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist \(U \cap (X \setminus B) = U \setminus B = U \setminus B_U = A\) abgeschlossen
schöner mit den axiomen für den abschluss möglich ? da aber äquivalente definition für