unit and trivial ideal
1. Satz
Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(d \in R\)
TFAE:
- \(d\) ist eine Einheit
- für das erzeugte Ideal von \(d\) gilt \((d) = R\)
Dann gilt für das von \(d\) erzeugtes Ideal \((d) = R\)
2. Beweis
2.1. a)
Sei \(r \in R\) beliebig. Nach Annahme existiert ein \(d' \in R\) mit \(d' \cdot d = 1\) Daraus folgt:
\begin{align*} r = (r \cdot d') \cdot d \in (d) \end{align*}2.2. b)
Nach Annahme gilt \(1 \in (d)\), d.h. es existiert ein \(d^{-1} \in R\) so dass gilt:
\begin{align*} 1 = d^{-1} \cdot d \in (d) = R \end{align*}Damit ist \(d\) eine Einheit