glueing lemma for an open covering

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und für eine offene Überdeckung \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\) \(f_{A_i}: A_i \rightarrow X'\) eine Familie von stetigen Abbildungen, so dass für paarweise \(A_{i} \cap A_{i'} \neq \emptyset\) gilt:

\begin{align*} f_{A_{i} \vert A_{i} \cap A_{i'}} = f_{A_{i'} \vert A_{i} \cap A_{i'}} \end{align*}

Dann existiert eine eindeutige, stetige Abbildung \(g: X \rightarrow X'\), so dass gilt:

\begin{align*} f_{A_i} = g_{\vert A_i} \end{align*}

Wir konstruieren unsere Abbildung folgendermaßen: Sei \(a \in X\), so existiert insbesondere wegen \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\) ein \(A_i\) mit \(x \in A_i\) Dann sei \(g(a) = f_{A_i}(a)\). Diese Abbildung ist linkstotal wegen \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\) und rechtseindeutig wegen der Forderung \(f_{A_i \vert A_i \cap A_{i'}} = f_{A_{i'} \vert A_{i} \cap A_{i'}}\) Bleibt die stetigkeit zu zeigen: Sei \(O' \subseteq X'\) offen, so gilt für das Urbild nach Konstruktion:

\begin{align*} g^{-1}[O'] = \bigcup_{i \in I} f_{A_i}^{-1}[O'] \end{align*}

Dabei ist \(f^{-1}_{A_i}[O']\) offen in \(X\) wegen der Übertragung der Offenheit von der Unterraumtopologie - schließlich ist \(A_i\) nach Annahme offen. Damit folgt aus der Abgeschlossenheit gegenüber Vereinigung, dass \(g^{-1}[O']\) offen ist und damit \(g\) stetig