Komplement einer abgeschlossenen und offenen Menge
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(O \subseteq X\) offen und \(A \subseteq X\) abgeschlossen. Dann gilt:
- \(O \setminus A\) ist offen
- \(A \setminus O\) ist abgeschlossen
2. Beweis
2.1. 1)
Nach Annahme ist \(X \setminus A\) offen und wegen der Abgeschlossenheit gegenüber endlichen Schnitten ist \(O \cap (X \setminus A)\) offen Dabei gilt \(O \setminus A = O \cap (X \setminus A)\) (vgl. relative Komplement und Schnitt mit dem absoluten Komplement)
2.2. 2)
Nach Annahme ist \(X \setminus O\) abgeschlossen und wegen der Abgeschlossenheit des Durchschnitts abgeschlossener Mengen ist \(A \cap (X \setminus O)\) abgeschlossen Analog gilt wieder \(A \setminus O = A \cap (X \setminus O)\) (vgl. relative Komplement und Schnitt mit dem absoluten Komplement)