union of a chain of ideals

1. Satz

Sei \(R\) ein Ring und \(I_i\) eine Folge von Idealen mit \(I_i \subseteq I_{i+1}\) Dann ist

\begin{align*} \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \end{align*}

2. Beweis

2.1. abelsche Gruppe

folgt aus der union of a chain of abelian groups as abelian group

2.2. absorption

Sei \(r \in R\) und \(u \in \bigcup_{i =1}^{\infty} I_i\), so existiert ein \(I_i\) mit \(u \in I_i\). Da \(I_i\) ein Ideal ist, folgt auch, dass \(r \cdot u, u \cdot r \in I_i\) und damit auch in der Vereinigung liegt.