Charakteristische Polynom und Spur

1. Satz

Sei $A = (\alpha_{ij}) \in K^{n \times n}$ mit $n \geq 2$ so hat das charakteristische Polynom die Form:

\begin{align*} x^n - \mathrm{Tr}(A) x^{n-1} + ... + (-1)^{n} \mathrm{det}(A) \end{align*}

2. Beweis

Nach der Definition der Determinante gilt:

\begin{align*} f_A =& \sum_{\tau \in S_n}^{} \mathrm{sgn}(\tau) \prod_{i=1}^{n} \alpha'_{i \tau(i)} \\ =& \sum_{i=0}^{n} \beta_i X^i \end{align*}

2.1. n

Dabei ist $\beta_n = 1$, da $\tau = \mathrm{id}_{}$ und $\mathrm{sgn}(\tau) = 1$ sein muss, damit der Grad des Monom gleich $n$ ist. Daraus folgt durch ausmultiplizieren von $∏_i=1ⁿ (x - α_i,i) = xⁿ + …$.

2.2. n-1

Für den Koeffizienten $\beta_{n-1}$ gilt, dass $\tau = \mathrm{id}_{}$ sein muss, da $n-1$ Zahlen auf sich selbst abgebildet werden müssen, um Grad $n-1$ zu erreichen. Ferner folgt dann, da $\tau$ eine Bijektion`ist, dass $\tau = \mathrm{id}_{}$ gelten muss. Man betrachte wieder $\prod_{i=1}^n (x - \alpha_{i,i})$: Durch Ausmultiplizieren folgt, dass genau ein Faktor $- \alpha_{i,i}$ gewählt wird und sonst $n-1$ mal $x$, d.h. wir erhalten:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} -\alpha_{i,i} x^n =& - \mathrm{Tr}(A) \end{align*}

2.3. 0

Hier gilt, dass man alle Permutationen durchgeht und bei den Fixpunkten beim Anwenden des Distributivgesetzes stets das $x$ vermeidet Damit erhält man:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} \prod_{\tau \in S_n} \mathrm{sgn}(\tau) -\alpha_{i,\tau} =& (-1)^{n} \sum_{i=1}^{n} \prod_{\tau \in S_n} \mathrm{sgn}(\tau) \alpha_{i,\tau} =& (-1)^{n} \det(A) \end{align*}