subspace of a hausdorff space as hausdorff space

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Hausdorff-Raum und \(A \subseteq X\).

Dann ist die Unterraumtopologie von \(A\) ebenfalls ein Hausdorff-Raum

Sei \(A \subseteq X\) mit \(a,b \in A\) verschieden. Dann existiert nach Annahme in \(X\) disjunkte Umgebungen \(U_a,U_b\) von \(a,b\). Zudem sind insbesondere \(U_a \cap A\), \(U_b \cap A\) disjunkt und umgebungen in \(A\)