abelian group as module over the integers

1. Satz

Sei $(G,+)$ eine abelsche Gruppe. Dann ist $G$ ein $\mathbb{Z}$-Modul

2. Beweis

2.1. Skalarmultiplikation

Sei $r \in \mathbb{Z}$ und $a \in G$, so ist die Skalarmutliplikation definiert als

\begin{align*} r \cdot a # \coloneqq& \mathrm{sgn}(r) \cdot \sum_{i=1}^{\vert r \vert} a \\ \eqqcolon& \sum_{i=1}^{r} a - \sum_{i=1}^{-r} a \end{align*}

2.2. distributiv

Seien $a,a' \in G$ und $r,r' \in \mathbb{Z}$, so gilt:

\begin{align*} (r + r)' \cdot a =& \mathrm{sgn}(r + r') \cdot \sum_{i=1}^{\vert r + r' \vert} a \\ =& \sum_{i=1}^{r + r'} a - \sum_{i=1}^{-r - r'} a \\ =& \sum_{i=1}^{r} a + \sum_{i=1}^{r'} a - \sum_{i=1}^{-r} a - \sum_{i=1}^{-r'} a \\ =& \sum_{i=1}^{r} a - \sum_{i=1}^{-r} a + \sum_{i=1}^{r'} a - \sum_{i=1}^{-r'} a \\ =& r \cdot a + r' \cdot a \end{align*}

bzw. durch wiederholte Anwendung des Kommutativgesetz:

\begin{align*} r \cdot (a + a') =& \sum_{i=1}^{r} (a + a') - \sum_{i=1}^{-r} - (a + a') \\ =& \sum_{i=1}^{r} a + \sum_{i=1}^{r} a' - \sum_{i=1}^{-r} a - \sum_{i=1}^{-r} a' \\ =& \sum_{i=1}^{r} a - \sum_{i=1}^{-r} a + \sum_{i=1}^{r} a' - \sum_{i=1}^{-r} a' \\ =& r \cdot a + r \cdot a' \end{align*}