Inverse zu einem Gruppenhomomorphismus für abelsche Gruppen als Gruppenhomomorphismus
1. Satz
Seien \((G,+),(G',+)\) abelsche Gruppen und \(f: G \rightarrow G'\) ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist
\begin{align*} (-f): G \rightarrow& G' \\ g \mapsto& -f(g) \end{align*}ebenfalls ein Gruppenhomomorphism
2. Beweis
Seien \(g,g' \in G\), so gilt
\begin{align*} (-f)(g + g') =& -(f(g + g')) \\ =& -(f(g) + f(g')) \\ =& -f(g') - f(g) \\ =& -f(g) - f(g') \\ =& (-f)(g) + (-f)(g') \end{align*}