Menge der Nichteinheiten als multiplikative Halbgruppe
1. Satz
Sei \(R\) ein Ring und \(R \setminus R^{\times}\) die Menge der Nichteinheiten, dann ist \(R \setminus R^{\times}\) eine Halbgruppe.
2. Beweis
2.1. abgeschlossenheit
Sei \(r \in R \setminus R^{\times}\) und \(k \in R\) beliebig. Für \(r \cdot k \in R^{\times}\) folgt ein Widerspruch, da sonst ein \((rk)^{-1} \in R\) existiert mit \(r \cdot k \cdot (rk)^{-1} = 1\). Somit wäre \(k \cdot (rk)^{-1}\) das inverse Element von \(r\) und \(r \not\in R \setminus R^{\times}\), Widerspruch. Analog für \(k \cdot r\)