irreducible and prime element in an UFD

folgt aus Primelement als irreduzibles Element

Sei \(p \in R\) irreduzibel und \(x,y \in R\) mit

\begin{align*} p \mid x \cdot y \end{align*}

Seien o.B.d.A. \(x,y \not\in R^{\times}\), da sonst ein \(c \in R\) existiert mit

\begin{align*} p \cdot c =& x \cdot y && \vert \cdot y^{-1}\\ p \cdot c \cdot y^{-1} =& x \end{align*}

woraus \(p \mid x\) folgt Ferner gelte o.B.d.A. \(x,y \neq 0\), da \(p \mid 0\) gilt für \(p \cdot 0 = 0\)

Nach Annahme existiert eine bis auf Einheiten eindeutige Primzerlegung

\begin{align*} x =& \prod x_i \\ y =& \prod y_i \end{align*}

mit \(x_i,y_i\) irreduzibel. Damit folgt

\begin{align*} p \mid& \prod x_i \cdot \prod y_i \\ p \cdot c =& \prod x_i \cdot \prod y_i \end{align*}

und da \(p\) irreduzibel ist, folgt auch aus der Eindeutigkeit einer Primzerlegung, dass \(p \mid x_i\) oder \(p \mid y_i\) für ein \(i \in \{1,..,n\}\) gilt. Somit folgt o.B.d.A. für \(p \mid x_i\) auch

\begin{align*} p \mid& x \end{align*}