evaluation homomorphism for polynomial rings
1. Definitione / Satz
Seien \(R,R'\) kommutative Ringe und \(\phi: R \rightarrow R'\) ein Ringhomomorphismus sowie \(A\) ein R'-Algebra. Für ein \(b_i \in A\) und \(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i \prod_{i} X_i^i \in R[X_i]\) ist der Einsetzungshomomorphismus als R-Algebrahomomorphismus \(\phi_{(b_i)}\) definiert durch:
\begin{align*} \phi_b : R[X] \rightarrow& A \\ \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i \mapsto& \sum_{i=0}^{n} \phi(\alpha_i) b^i \end{align*}2. Beweis
o.B.d.A. für den Fall \(R[X]\), der allgemeine fall folgt durch polynomialring in multiple variables and inductive construction und reduktion von \(R[X_i]\) auf \(R[X_1,...,X_n]\) für \(f \in R[X_i]\) wobei nur endlich viele variablen vorkommen (letztes richtig ?).
2.1. Ringhomomorphismus
2.1.1. additiv
für \(\sum_{i=0}^{n} (\alpha_i + \beta_i) X^i\) gilt:
\begin{align*} \phi_b(\sum_{i=0}^{n} (\alpha_i + \beta_i) X^i) =& \sum_{i=1}^{n} \phi(\alpha_i + \beta_i) b^i \\ =& \sum_{i=1}^{n} \phi(\alpha_i) b^i + \sum_{i=1}^{n} \phi(\beta_i) b^i \end{align*}2.1.2. multiplikation mit \(R\)
\begin{align*}
\phi_b(r \cdot \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i) =& \phi_b(\sum_{i=0}^{n} r \cdot \alpha_i X^i )\\
=& \sum_{i=0}^{n} \phi(r \cdot \alpha_i) b^i \\
=& \sum_{i=0}^{n} \phi(r) \cdot \phi(\alpha_i) b^i \\
=& \phi(r) \cdot \sum_{i=0}^{n} \phi(\alpha_i) b^i \\
=& \phi_b(r \cdot X^0) \cdot \phi_b(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i) \\
=& \phi_b(r) \cdot \phi_b(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i)
\end{align*}
2.1.3. multiplikation in \(R[X]\)
o.B.d.A. gilt \(\mathrm{deg}(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i), \mathrm{deg}(\sum_{i=0}^{n} \beta_i X^i) \leq n\).
\begin{align*} \phi_b(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i) \cdot \phi_b(\sum_{i=0}^{n} \beta_i X^i) =& ( \sum_{i=0}^{n} \phi(\alpha_i) b^i ) \cdot (\sum_{i=0}^{n} \phi(\beta_i) b^i ) \\ =& \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^{i} \phi(\alpha_j) b^j \phi(\beta_{i - j}) b^{i - j} \\ =& \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^{i} \phi(\alpha_j) \phi(\beta_{i - j}) b^{j} b^{i - j} \\ =& \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^{i} \phi(\alpha_j \cdot \beta_{i - j}) b^{i} \\ =& \phi_b( \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^{i} \alpha_j \cdot \beta_{i - j} X^{i} ) \\ =& \phi_b( (\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i) \cdot (\sum_{i=0}^{n} \beta_i X^i)) \end{align*}