LinAlg 1 - extra wahr / falsch Aufgaben zu Vektorräumen und Matrizen (Lösungen)

Sei eine Teilmenge und ein UVR.
Dann ist auch ein UVR von .
Falsch wenn die Abbildung nicht injektiv ist: wähle z.B. so dass ein UVR ist.

Seien Vektoren in , so existiert eine K-lineare Abbildung mit
Wahr

• field regarded as vector space is a cogenerator
  

Seien Vektorräume über dem Körper und ein Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen.
Dann ist schon ein Vektorraumhomomorphismus.

• inclusion of F_p vector spaces into Ab is fully faithful
  

Seien Vektorräume über dem Körper und ein Gruppenhomomorphismus zwischen den additiven Gruppen.
Dann ist schon ein Vektorraumhomomorphismus.

• fully faithful inclusion of Q-vector spaces into Ab
  

Sei eine Basis von und ein UVR.
Dann ist eine Basis von
z.B.

Wenn linear abhängig ist, dann ist eine Linearkombination von und .
Falsch für z.B.

Es gilt
wahr: LinAlg 1 - paar Dimensionen von Vektorräumen

Sei ein Automorphismus.
Dann ist
z.B.

bildet linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen ab.
falsch, z.B.

Jeder VR besitzt stets mindestens zwei UVR.
Falsch, z.B. für

Für beliebige Matrizen gilt:
Falsch, da

Es existieren Matrizen mit
Wahr, z.B.

oder

in

Es existiert eine Matrix mit
siehe oder

Für gilt
Falsch, z.B. für und

Für gilt
Falsch, z.B. für

Sei eine -lineare Abbildung, so folgt
falsch, z.B. für

Sei eine Matrix und die transponierte.
Seien die zugehörigen VR-Homomorphismen.
Dann gilt

falsch, z.B. für

Sei eine Matrix und die transponierte.
Seien die zugehörigen VR-Homomorphismen.
Dann gilt

Wahr, z.B. durch den Rangsatz

Sei eine Matrix und
Sei .
Dann gilt

Sei eine Matrix und
Sei .
Dann gilt

Sei eine Matrix und
Sei .
Dann gilt

Sei eine Matrix und
Sei .
Dann gilt

Sei ein lineares Gleichungssystem

gegeben.
Seien Lösungen vom linearen Gleichungssystem.
Dann ist auch eine Lösung.

Die Abbildung

ist linear für

Sei eine Matrix mit für ein .
Dann folgt

Es gilt für

Es gilt für und

Es gilt für

Sei so dass die Abbildung

surjektiv ist.
Dann folgt

Sei so dass die Abbildung

surjektiv ist.
Dann folgt

Es existiert eine Matrix mit so dass

injektiv ist

Der Schnitt von zwei Untervektorräumen ist nichtleer.

Sei gegeben und zwei dimensionale Unterräume.
Dann ist ein dimensionaler Raum

Die Relation

definiert eine Äquivalenzrelation auf

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum.
Dann ist auch endlich dimensional.

Jeder Vektorraum besitzt eine kanonische Basis.

Basen besitzen

Ich wollte die Aufgabe stellen, um zu verdeutlichen, dass Vektorräume keine eindeutige / kanonische Basis besitzen.
Wenn man eine Basis haben möchte, dann muss man (willkürlich) eine Basis wählen, d.h. man kann auch insbesondere nicht von "der Basis eines Vektorraums" sprechen.

Z.B. ist ein -Vektorraum und man kann mit Hilfe vom Lemma von Zorn (welches äquivalent zum Auswählaxiom ist) zeigen, dass eine Basis existiert, aber man kann auch Modelle von Mengentheorie (genauer: ZF) konstruieren, in denen man beweisen kann, dass keine Basis als -Vektorraum besitzt.

Sei eine elementige Teilmenge von .
Dann existiert ein so dass eine Basis ist.

Sei eine elementige Teilmenge von .
Dann ist eine Teilmenge von eine Basis.

Seien endlich dimensionale Vektorräume und ein VR-Mono.
Dann ist auch ein VR-Iso

Sei eine Matrix bzw. das dazugehörige Lineare Gleichungssystem.
Angenommen hat reelle Lösungen, dann hat auch rationale Lösungen.

Seien endlich erzeugte -Vektorräume und eine -lineare Abbildung.
Angenommen , dann folgt für

Sei ein endlich dimensionaler VR und VR-Endomorphismen.
Dann gilt

Sei ein endlich dimensionaler VR und VR-Endomorphismen.
Dann gilt

Sei ein endlich dimensionaler VR und VR-Endomorphismen.
Dann gilt

Sei eine additive untergruppe von einem -Vektorraum.
Dann ist schon ein UVR

Es existiert ein Körper , so dass ein -VR ist.

Für jeden VR-Endomorphismus gilt

seien -linear und .
Dann gilt

seien -linear und .
Dann gilt

Sei eine K-lineare abbildung zwischen endlich dimensionalen VR.
Dann sind äquivalent

Sei eine Primzahl, dann existiert ein Lineares Gleichungssystem über mit genau vielen Lösengen

Sei ein 7-dimensionaler K-VR und UVR von dimension und .
Dann ist mindestens 2 dimensional

Sei mit
Dann gilt

Sei so dass die induzierte Abbildung surjektiv ist.
Dann folgt dass invertierbar ist.

Sei und .
Dann folgt

also ist die Abbildung nicht invertierbar

Es existiert ein endlich dimensionaler K-VR und endomorphismen mit

wahr, siehe xiii)

Sei ein endlich dimensionaler K-VR und ein nicht-invertierbarer Endomorphismus.
Dann existiert ein Endomorphismus mit

Sei ein endlich dimensionaler K-VR und ein Endomorphismus.
Dann existiert ein Endomorphismus mit

Wenn invertierbar ist, dann folgt aus auch schon

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei linear unabhängig und linear unabhängig.

Sei ein VR-Homomorphismus.
Angenommen ist linear unabhängig und hat elemente.
Dann ist auch linear unabhängig.

Sei eine Teilmenge.
Angenommen jede endliche Teilmenge von ist linear unabhängig.
Dann ist auch linear unabhängig.

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei linear unabhängig so dass eine Basis von ist.
Dann ist linear unabhängig.

Sei eine Linearkombination.
Dann folgt und damit .
Da aber linear unabhängig ist, folgt

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei eine Basis von , so dass eine Basis von ist.
Dann ist ein Isomorphismus.

z.b. die Projektion

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei für jede Basis von das Bild eine Basis von .
Dann ist ein Isomorphismus.

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei eine Basis von , so dass linear abhängig ist.
Dann ist ein VR-Epimorphismus.

z.B. die Abbildung

bildet auf eine Basis ab.

Sei ein VR-Homomorphismus.
Sei für jede Basis von das Bild linear unabhängig von .
Dann ist ein Monomorphismus.

Die Abbildung

ist -linear

wegen gilt

Es existiert ein K-VR, so dass eine Basis ist.

Der Nullraum

Sei ein endlich erzeugter K-VR und ein UVR.
Dann existiert ein endomorphismus so dass ein VR-Isomorphismus existiert.

Sei ein UVR.
Sei , dann gilt

Sei ein UVR.
Sei und , dann gilt auch

Sei kein VR-Isomorphismus.
Dann folgt

Sei ein Vektorraum und ein Untervektorraum mit .
Dann folgt auch

z.B.

Sei ein endlich erzeugter Vektorraum und ein Untervektorraum mit .
Dann folgt auch

Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig.

Seien K-VR mit und ein VR-Epi.
Dann existiert ein Unterraum mit und einem VR-Iso

Seien Erzeugendensysteme von .
Dann gilt