LinAlg 1 - paar Dimensionen von Vektorräumen
Liste
Sei im Folgenden \(K\) ein Körper, \(V\) und \(W\) endlich dimensionale K-Vektorräume und \(U,U' \subseteq V\) Untervektorräume.
Sei \(\varphi: V \rightarrow W\) ein VR-Homomorphismus.
| Raum | Dimension | "Beweisskizze" |
|---|---|---|
| \(K^n\) | \(n\) | \(\{e_1,...,e_n\}\) |
| \(K[X]_{\leq n}\) | \(n+1\) | \(\{X^i \vert i \in \{0,...,n\}\}\) |
| \(K^{n \times m}\) | \(n \cdot m\) | \(\{e_{i,j} \vert (i,j) \in \{1,...,n\} \times \{1,...,m\}\}\) |
| \(W \times V\) | \(\mathrm{dim}(W) + \mathrm{dim}(V)\) | \(\{(w_i,0)\} \cup \{v_i,0\}\) für Basen \(w_i\) bzw. \(v_i\) |
| \(\mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) | \(\mathrm{dim}(W) \cdot \mathrm{dim}(V)\) | omitted :( |
| \(\mathrm{Hom}_{K}(K,W)\) | \(\mathrm{dim}(W)\) | Spezialfall von \(\mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) |
| \(\mathrm{Hom}_{K}(V,K)\) | \(\mathrm{dim}(V)\) | Spezialfall von \(\mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) |
| \(U \oplus U'\) | \(\mathrm{dim}(U) + \mathrm{dim}(U')\) | analog zu \(W \times V\) |
| \(U + U'\) | \(\mathrm{dim}(U) + \mathrm{dim}(U') - \mathrm{dim}(U \cap U')\) | Dimensionsformel |
| \(V/U\) | \(\mathrm{dim}(V) - \mathrm{dim}(U)\) | z.B. rank theorem für \(V \rightarrow V/U\) |
| \(V\), für \(\varphi: V \rightarrow W\) | \(\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(\mathrm{im}(\varphi)) + \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(\varphi))\) | rank theorem |
| \(U \cap U'\) für \(U,U' \subseteq V\) | \(\mathrm{dim}(U \cap U') = \mathrm{dim}(U) + \mathrm{dim}(U') - \mathrm{dim}(U + U')\) | rank theorem für die Abbildung \(U \times U' \rightarrow U + U', (u,u') \mapsto u - u'\) |
Hinweis
- Ich hatte mich bei \(K^{n \times m}\) verschrieben: natürlich ist \(K^{n \times m} \cong \mathrm{Hom}(K^m,K^n)\) und damit \(\mathrm{dim}(K^{n \times m}) = \mathrm{dim}(\mathrm{Hom}(K^m,K^n)) = n \cdot m\)