Multiplikation mit Skalar gleich Transponierter

Sei \(K\) ein Körper, \(\alpha \in K\) ein Skalar mit \(\alpha^2 \neq 1\) und \(A \in K^{n \times n}\) eine matrix.
Angenommen es gilt \(\alpha A = A^t\)

Dann folgt auch \(A = 0\).

Sei \(i,j \in \{1,...,n\} \times \{1,...,n\}\) und \(\alpha_{i,j}\) der \((i,j)\) Eintrag in \(A\).
Dann gilt \(\alpha \cdot \alpha_{i,j} = \alpha_{j,i}\) und \(\alpha \cdot \alpha_{j,i} = \alpha_{i,j}\) bzw. \(\alpha^2 \alpha_{i,j} = \alpha_{i,j}\).
Wegen \(\alpha^2 \neq 1\) folgt \((\alpha^2 - 1) \neq 0\) und es gilt \((\alpha^2 - 1) \cdot \alpha_{i,j} = 0\) bzw. damit auch \(\alpha_{i,j} = 0\).

Somit ist \(A = 0\) da \(i,j\) beliebig war (insbesondere kann auch \(i = j\) gelten).

Polynomdivision zeigt, dass die Gleichung \(\alpha^2 = 1\) (bzw. Polynomdivision für \(x^2 - 1\)) einzig \(\pm 1\) als Lösung besitzt.
D.h. man hätte auch \(\alpha \neq \pm 1\) fordern können.