Satz von Bolzano-Weierstraß

Nach dem Vollständigkeitsaxiom (bzw. hier Supremumsaxiom) seien

\begin{align*} (s_n) \coloneqq \inf_{k \leq n}\{a_k\} \\ (S_n) \coloneqq \sup_{k \leq n}\{a_k\} \end{align*}

Da \(a_n\) beschränkt ist, folgt auch, dass \((s_n)\) beschränkt ist und aus der Konstruktion (Monotonie einer Folge von Suprema/Infima) auch monoton. Daraus folgt aufgrund der Konvergenz monotoner, beschränkter Folgen, dass \(a_n\) konvergiert

Sei \((a_n)\) beschränkt, dann folgt aus der Dreiecksungleichung

\begin{align*} \vert a_n \vert^2 =& \vert \mathrm{Re}(a_n) \vert^2 + \vert \mathrm{Im}(a_n) \vert^2 \end{align*}

Dass die reellen Folgen \((\mathrm{Re}(a_n))\) bzw. \(( \mathrm{Im}(a_n))\) beschränkt sind. Damit existiert eine Teilfolge \(( \mathrm{Re}(a_n_{k}))\) welche konvergiert und wieder eine Teilfolge \(\left( \mathrm{Im}(a_{n_{k_i}})\right)\) von \(( \mathrm{Im}(a_{n_k}))\) welche konvergiert. Daraus folgt, dass die beiden Folgen \(\left( \mathrm{Re}(a_{n_{k_i}) \right)\) und \(\left( \mathrm{Im}(a_{n_{k_i})\right)\) konvergieren, sodass \(a_{n_{k_{i}}}\) konvergiert siehe:

• halbieren der intervalle: für zukünftige folgenglieder

• folge: maximaler abstand halbiert =>

  Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge gilt