Konvergenz monotoner beschränkter Folgen

Sei \((a)_n\) eine beschränkte, monotone Folge in einem Vollständigen metrischen Raum. Dann konvergiert \((a_n)\) gegen das Supremum \(\sup \{a_n \vert n \in \mathbb{N}\}\) falls \((a_n)\) (streng) monoton wächst bzw. das Infimum \(\inf \{a_n \vert n \in \mathbb{N} \}\) falls \((a_n)\) (streng) monoton fällt

Sei \((a_n)\) o.B.d.A. monoton wachsend. Dann existiert ein Supremum \(s\) für \(\{a_n \vert n \in \mathbb{N}\}\). Zudem gilt, dass für jedes \(\forall: \epsilon > 0 : s - \epsilon\) keine obere Schranke ist, sodass folgt: \(\exists n \in \mathbb{N} : a_n > s - \epsilon\) Aufgrund der Monotonie folgt auch für \(n' > n: a_{n'} \geq a_n > s - \epsilon\) Damit konvergiert \((a_n) \rightarrow s\)