Satz von Lagrange

Sei \((G,\circ)\) eine endliche Gruppe und \(U \leq G\) eine Untergruppe. Dann gilt:

\begin{align*} \vert G \vert =& \vert G : U \vert \cdot \vert U \vert \\ =& \vert J \vert \cdot \vert U \vert \end{align*}

Für eine Untergruppe \(U\) gilt, dass es \(\vert J\vert\) Rechtsnebenklassen gibt und für ein \(a \in G\) eine bijektive Abbildung existiert:

\begin{align*} U \rightarrow& Ua \\ u \mapsto& ua \end{align*}

Surjektiv: Sei \(u'a \in Ua\), so folgt, dass \(u' \mapsto u'a\) Injektiv: Sei \(ua = u'a\). aus den Gruppenaxiomen für \(G\) folgt \(u = u'\) Es folgt:

\begin{align*} \vert Ua \vert =& \vert U\vert \\ \Rightarrow \vert G \vert =& \vert J\vert \vert U\vert \\ =& \vert G : U \vert \vert U\vert \end{align*}