Äquivalenzrelation einer Rechtsnebenklasse

Daraus folgt:

\begin{align*} a \circ a^{-1} = e \in U \Rightarrow a \sim a \end{align*}

Sei \(a \sim b\), also \(a \circ b^{-1} \in U\). folglich ist das Inverses Element für \((a \circ b^{-1})\) in \(U\), d.h. \((a \circ b^{-1})^{-1} =& ba^{-1} \in U\) und damit folgt \(b \sim a\)

Sei \(a \sim b\) und \(b \sim c\), d.h. \(a \circ b^{-1} \in U\) sowie \(b \circ c^{-1} \in U\) aufgrund der Verknüpfung in \(U\) folgt:

\begin{align*} (a \circ b^{-1})\circ (b \circ c^{-1}) =& ac^{-1} \end{align*}

Aufgrund der Abgeschlossenheit einer algebraischen Struktur folgt

\begin{align*} ac^{-1} \in U \Rightarrow a \sim c \end{align*}