Äquivalenzrelation einer Linksnebenklasse

Da \((U, \circ)\) selbst eine Gruppe ist, folgt: \(e \in U\) Daraus folgt:

\begin{align*} a^{-1} \circ a = e \in U \Rightarrow a \sim a \end{align*}

Sei \(a \sim b\), also \(a^{-1} \circ b \in U\). folglich ist das Inverses Element für \((a^{-1} \circ b)\) in \(U\), d.h. \((a^{-1} \circ b)^{-1} =& b^{-1}a \in U\) und damit folgt \(b \sim a\)

Sei \(a \sim b\) und \(b \sim c\), d.h. \(a \circ b^{-1} \in U\) sowie \(b \circ c^{-1} \in U\) aufgrund der Verknüpfung in \(U\) folgt:

\begin{align*} (a^{-1} \circ b)\circ (b^{-1} \circ c) =& ac^{-1} \end{align*}

Aufgrund der Abgeschlossenheit einer algebraischen Struktur folgt

\begin{align*} ac^{-1} \in U \Rightarrow a \sim c \end{align*}