Existenz einer Basis in einem endlich erzeugten Vektorraum

Satz

Sei \(V\) ein endlich erzeugter K-Vektorraum, \(V = \langle a_1,...,a_n\rangle\).
Sei \(0 \leq k < n\) und seien \(c_1,...,c_k\) linear abhängige Vektoren in \(V\).
Dann gibt es eine Basis \(\{b_1,...,b_m\}\) von \(V\), sodass gilt

\begin{align*} \{c_1,...,c_k\} \subseteq \{b_1,...,b_m\} \subseteq \langle a_1,...,a_n\rangle \end{align*}

d.h. jede lineare unabhängige Menge \(\{c_1,...,c_k\}\) lässt sich durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus einem Erzeugendensystem zu einer Basis von \(V\) ergänzen.

Beweis

Sei o.B.d.A. \(\{c_1,...,c_k\} \subseteq \{a_1,...,a_n\}\), da das Erzeugendensystem durch hinzunahme von Vektoren aus \(\langle a_1,...,a_n\rangle\) sich nicht verändert und damit die Menge \(\{a_1,...,a_n\}\) beleib vergrößert werden kann.
Durch Umordnung erhalten wir dann auch

\begin{align*} c_i = a_i \forall i \in \{1,..,k\} \\ b_i = a_i \forall i \in \{1,..,.m\} \end{align*}

Sei \(\{a_1,...,a_m\}\) die maximal lineare unabhängig Menge, so folgt, dass für \(a_i'\) mit \(i' > m\) eine nichttriviale Linearkombination existiert mit

\begin{align*} \sum_{n=1}^{m} \alpha_i a_i + \alpha_{i'} a_{i'} =& 0 && \alpha_{i'} \neq 0 \\ \a_{i'} =& \frac{-1}{\alpa_{i'}} \sum_{n=1}^{m} \alpha_i a_i \end{align*}

Isbesondere ist \(\alpha_{i'} \neq 0\) wegen der linearen unabhängigkeit von \(\{a_1,...,a_m\}\)
Daraus folgt für beliebiges \(a_{i'} \in V\)

\begin{align*} a_{i'} \in \langle a_i,...,a_m\rangle \end{align*}

Date: nil

Author: Anton Zakrewski

Created: 2025-01-17 Fr 21:23