Existenz einer Basis in einem endlich erzeugten Vektorraum
Satz
Sei \(V\) ein endlich erzeugter K-Vektorraum, \(V = \langle a_1,...,a_n\rangle\).
Sei \(0 \leq k < n\) und seien \(c_1,...,c_k\) linear abhängige Vektoren in \(V\).
Dann gibt es eine Basis \(\{b_1,...,b_m\}\) von \(V\), sodass gilt
d.h. jede lineare unabhängige Menge \(\{c_1,...,c_k\}\) lässt sich durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus einem Erzeugendensystem zu einer Basis von \(V\) ergänzen.
Beweis
Sei o.B.d.A. \(\{c_1,...,c_k\} \subseteq \{a_1,...,a_n\}\), da das Erzeugendensystem durch hinzunahme von Vektoren aus \(\langle a_1,...,a_n\rangle\) sich nicht verändert und damit die Menge \(\{a_1,...,a_n\}\) beleib vergrößert werden kann.
Durch Umordnung erhalten wir dann auch
Sei \(\{a_1,...,a_m\}\) die maximal lineare unabhängig Menge, so folgt, dass für \(a_i'\) mit \(i' > m\) eine nichttriviale Linearkombination existiert mit
Isbesondere ist \(\alpha_{i'} \neq 0\) wegen der linearen unabhängigkeit von \(\{a_1,...,a_m\}\)
Daraus folgt für beliebiges \(a_{i'} \in V\)