Austauschsatz von Steinitz

Insbesondere folgt, dass jede Menge lineare unabhängiger Vektoren zu einer Basis erweitert werden kann

Ist \(m =1\), so ist auch \(a_1 \neq 0\) und es existiert ein \(k\) , sodass für \(a_1 =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i\) gilt

\begin{align*} \alpha_k \neq 0 \end{align*}

Sei o.B.d.A. \(k = 1\) Nach dem Austauschlemma ist \(\{a_1,b_2,...,m_n\}\) wieder eine Basis für \(V\)

Sei \(1 < m \leq n\) Nach dem Induktionsanfang sei \(\{a_1,...,a_{m-1},b_m,...,b_n\}\) eine Basis von \(V\). Dementsprechend sei

\begin{align*} a_m =& \sum_{j=1}^{m-1} \beta_{j} a_j + \sum_{i=m}^{n} \gamma_ib_i \end{align*}

Da \(\{a_1,...,a_m\}\) lineare unabhäng sind, existiert ein \(\gamma_k \neq 0\) , da sonst gelten würde

\begin{align*} a_{m} =& \sum_{j=1}^{m-1} \beta_j a_j \\ 0 =& \sum_{j=1}^{m-1} \beta_j a_j - a_m \end{align*}

Aufgrund des Austauschlemma folgt somit, dass \(\{a_1,...,a_m,...,b_n\}\) eine Basis ist.