Austauschlemma einer Basis
1. Lemma
Sei \(V\) ein K-Vektorraum und sei \(B = \{b_1,...,b_n\} \subseteq V\) eine Basis von \(V\). Ist \(b = \sum_{1=i}^n \alpha_ib_i\) mit \(\alpha_i \in K\) und \(\alpha_1 \neq 0\), so ist auch
\begin{align*} B' =& \{b,b_2,...,b_n\} \subseteq V \end{align*}eine Basis
2. Beweis
2.1. \(B'\) als Erzeugendensystem
Aus der Definition von \(b\) folgt
\begin{align*} b =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i \\ b_1 =& \alpha_1^{-1} (b - \sum_{i=2}^n \alpha_i b_i) \\ \Rightarrow b_1 \in& \langle B' \rangle \end{align*}Also folgt
\begin{align*} \langle \{b,b_2,...,b_n\} \rangle =& \langle \{b_1,b_2,...,b_n\}\rangle \\\ =& V \end{align*}2.2. Lineare Unabhängigkeit von \(B'\)
Sei für \(\beta, \beta_i \in K\)
\begin{align*} \beta b + \sum_{i=2}^{n} \beta_i b_i =& 0 \end{align*}Dann folgt aus der Definition von \(b\)
\begin{align*} \beta (\alpha_1)b_1 + \sum_{i=2}^{n} \left(\beta_i + \beta \alpha_i\right)b_i =& 0 \end{align*}Aus der Linearen Unabhängigkeit von \(B = \{b_1,...,b_n\}\) folgt \(\beta \alpha_1 =& 0\) Aus der Nullteilerfreiheit und \(\alpha_1 \neq 0\) folgt \(\beta = 0\) und daraus \(\beta_i=0\) für \(i \in \{2,...,n\}\)