Kern als linearen Unterraum

Seien \(V,W\) K-Vektoräume und sei \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus. Dann ist der Kern ein Unterraum

\begin{align*} \mathrm{ker}(f) \subseteq V \end{align*}

Wegen Abbildung des neutralen Elements (Homomorphismus) gilt \(f(e_v) =& e_w\), d.h. \(e_v \in \mathrm{ker}(f)\) Seien \(v,v' \in \mathrm{ker}(f)\), d.h. \(f(v) = e_w = f(w)\), so folgt

\begin{align*} e_w =& e_w + e_w \\ =& f(v) + f(v') \\ =& f(v + v') \end{align*}

d.h. \(v + v' \in \mathrm{ker}(f)\) Für \(\alpha \in K\) folgt:

\begin{align*} 0 =& \alpha \cdot 0 \\ =& \alpha \cdot f(v) \\ =& f(\alpha \cdot v) \end{align*}

sodass folgt: \(\alpha \cdot v \in \mathrm{ker}(f)\)