Bild als linearen Unterraum

Seien \(V,W\) K-Vektoräume und sei \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus. Dann ist das Bild ein Unterraum

\begin{align*} \mathrm{im}(f) \subseteq W \end{align*}

Wegen der Abbildung des neutralen Elements (Homomorphismus) gilt \(f(e_v) =& e_w\), d.h. \(e_v \in \mathrm{im}(f)\) Seien \(v,v' \in V\).

Dann gilt

\begin{align*} f(v + v') =& f(v) + f(v') \\ (v + v') \in V \Rightarrow f(v + v') \in V \\ \Rightarrow f(v) + f(v') \in W \\ \end{align*}