Homomorphiesatz für Gruppen

1. Satz

Seien $G,H$ Gruppen und sei $f: G \rightarrow H$ ein Homomorphismus. Dann existiert ein Epimorphismus $\pi: G \rightarrow G / \mathrm{ker}(f)$ und ein (eindeutiger) Monomorphismus $h: G / \mathrm{ker}(f) \rightarrow H$, so dass gilt $f = h \circ \pi$ und $ \mathrm{im}(f) = \mathrm{im}(h)$ Das heißt es gilt $ G/ \mathrm{ker}(f) ≅ \mathrm{im}(f)$

2. Beweis

Sei $\pi$ die kanonische Abbildung als Epimorphismus. Dann sei die Abbildung

\begin{align*} h: G / \mathrm{ker}(f) \rightarrow H \\ g \mathrm{ker}(f) \mapsto f(g) \end{align*}

2.1. kommutieren

Sei $g \in G$ dann folgt:

\begin{align*} f(g) = h(k \mathrm{ker}(f)) =& h(\pi(g)) \end{align*}

2.2. wohldefiniertheit

Sei $a \mathrm{ker}(f) = a' \mathrm{ker}(f)$, dann folgt, dass ein $u \in \mathrm{ker}(f)$ existiert, so dass gilt

\begin{align*} a =& a'u \\ a - a' \in& \mathrm{ker}(f) \end{align*}

und es gilt:

\begin{align*} h(a \mathrm{ker}(f)) - h(a' \mathrm{ker}(f)) =& f(a) - f(a') \\ =& f(a - a') \\ =& 0 \end{align*}

2.3. Monomorphismus

nach dem Lemma über die Äquivalenz von einem Monomorphismus und einem minimalen Kern ist zu zeigen Nach konstruktion gilt:

\begin{align*} h(a \mathrm{ker}(f)) =& f(a) \\ h(a \mathrm{ker}(f)) =& 0 \Leftrightarrow a \in \mathrm{ker}(f) \\ \Rightarrow a \mathrm{ker}(f) =& \mathrm{ker}(f) \end{align*}