kernel as ideal
1. Satz
Seien \(R,S\) Ringe und \(f: R \rightarrow S\) ein Ringhomomorphismus. Dann gilt, dass \(\mathrm{ker}(f) \subseteq R\) ein Ideal ist.
2. Beweis
2.2. abgeschlossenheit
Sei \(r,r' \in R\) und \(a \in \mathrm{ker}(f)\) d.h. insbesondere \(f(a) = 0\). Dann folgt:
\begin{align*} f(r \cdot a \cdot r') =& f(r) \cdot f(a) \cdot f(r') \\ =& f(r) \cdot 0 \cdot f(r') \\ =& 0 \end{align*}