Kern eines Gruppenhomomorphismus als Untergruppe
1. Satz
Seien \(G,H\) Gruppen und \(f: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus. Dann folgt, dass der Kern eine Untergruppe von \(G\) ist.
2. Beweis
Nach dem Kriterium für eine Untergruppe ist zu zeigen: Sei \(a,b \in \mathrm{ker}(f)\) , folgt auch:
\begin{align*} f(a \cdot b^{-1}) =& f(a) \cdot f(b^{-1}) \\ =& 1 \cdot f(b)^{-1} \\ =& 1^{-1} \\ =& 1 \in \mathrm{ker}(f) \end{align*}