Dimension eines Vektorraums über einem Unterkörper

Satz

Seien \(L \subseteq K\) Körper und sei \(V\) ein K-Vektorraum.
Dann gilt für die Dimension von dem L-Vektorraum \(V\):

\begin{align*} \mathrm{dim}_{L}(V) = \mathrm{dim}_{L}(K) \cdot \mathrm{dim}_{K}(V) \end{align*}

wobei der unendliche fall symbolisch ist

Sei eine Basis \(v_i\) von \(V\) über \(K\) und eine Basis \(k_j\) von \(K\) über \(L\) gegeben.
Dann ist

\begin{align*} \{k_j \cdot v_i \} \end{align*}

eine Basis von \(V\) über \(L\)

Sei \(v \in V\), so existiert nach Annahme eine Linearkombination

\begin{align*} v = \sum \alpha_i v_i \end{align*}

Ferner existiert für \(\alpha_i \in K\) eine Darstellung

\begin{align*} \alpha_i = \sum \beta_j k_j \end{align*}

Damit gilt

\begin{align*} v = \sum \sum \beta_j (v_i k_j) \end{align*}

und somit ist \(\{v_i \cdot k_j\}\) ein erzeugendensystem

Sei

\begin{align*} \sum \alpha_i (v_i k_j) = 0 \end{align*}

gegeben.
Dann ist \(k_j \cdot \alpha_i \in K\) und da \(v_i\) linear unabhängig ist, folgt \(k_j \cdot \alpha_i = 0\) für alle \(i,j\)

Da \(k_j\) ebenfalls linear unabhängig ist, folgt insbesondere \(k_j \neq 0\) und da ein Körper ein Integritätsbereich ist, folgt

\begin{align*} \alpha_i = 0 \end{align*}