Maximale Mächtigkeit einer linear Unabhängigen Menge in Abhängigkeit von der Basis

Sei \(V\) ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit der Basis \(\{b_1,...,b_n\}\) und \(\{a_1,...,a_m\}\) eine lineare unabhängige Menge Dann gilt:

\begin{align*} m \leq n \end{align*}

Sei \(m > n\), dann folgt aber nach dem Austauschsatz von Steinitz, dass \(\{a_1,...,a_n\}\) eine Basis ist und damit auhc

\begin{align*} a_m = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i a_i \end{align*}

was ein Widerspruch zur linearen unabhängigkeit ist