Kommutativität der Spur (Matrix)

Sei \(K\) ein Körper und \(A,B \in K^{n \times n}\) eine Matrix Dann gilt:

\begin{align*} \tr(AB) = \tr(BA) \end{align*}

Sei \((c_{ij}) = AB, (c_{ij}') = BA\) Nach der Definition der Matrixmultiplikation gilt:

\begin{align*} c_{ij} = \sum_{s=1}^{n} a_{is} b_{sj} \end{align*}

Damit gilt für die Spur:

\begin{align*} \tr(AB) =& \sum_{k=1}^{n} c_{kk} \\ =& \sum_{k=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} a_{ks} b_{sk} =& \sum_{s=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} b_{sk} a_{ks} =& \sum_{s=1}^{n} c'_{ss} \\ =& \tr(BA) \end{align*}