Dimension eines Unterraums

Lemma

Sei $V$ ein K-Vektorraum mit $\mathrm{dim}(V) < \infty$ und Sei $U \subseteq V$ ein Unterraum.
Dann gilt:

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(U) \leq \mathrm{dim}_{K}(V) \end{align*}

mit

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(U) = \mathrm{dim}_{K}(V) \Leftrightarrow U = V \end{align*}

Sei $\{b_u\}$ eine Basis $U \subseteq V$ und $\{b\}$ eine Basis von $V$ mit gleich vielen Elementen, so folgt nach dem Austauschsatz von Steinitz, dass

\begin{align*} \{b_u\} \end{align*}

eine Basis von $V$ ist, d.h. $⟨ \{b_u\}⟩ = U \supseteq V ⇒ U = Vwa