Heuristik zur Bestimmung der dualen Basis für eine andere Basis
Skizze
Sei 
ein K-Vektorraum und sei 
eine Basis von , aufgefasst als Spaltenvektor.
Sei zusätzlich 
die duale Basis zu 
, aufgefasst als zeilenvektor in 
Dann ist 
gegeben durch die Lösung für das Lineares Gleichungssystem (
)
wobei 
das Kronecker-Delta Symbol ist.
Dieses lässt sich dann mit dem Gauß Algorithmus lösen, so dass man Skalare 
als Lösung erhält.
Dann ist
das Element der dualen Basis
Tipp
Angenommen wir haben
als Matrix, d.h. 
als Basisvektoren, und müssen die duale Basis bestimmen.
Dann wären die beiden Gleichungssysteme gegeben durch
und
Man kann dann beide separat lösen.
Alternativ gibt es zwei Möglichkeiten, sich etwas Rechenaufwand zu sparen.
Der Algorithmus bleibt der gleiche, man betreibt nur etwas effizienteres "Bookkeeping".
Kronecker-Delta Symbol
Sei
Das kronecker Delta Symbol.
Dann kann man auch die Matrix
betrachten.
Man löst diese dann wie gewohnt nach Gauß und erhält irgendwas von der Form
Um dann das erste Element der duale Basis zu bestimmen, setzt man 
und erhält
Dann löst man dieses Gleichungssystem und erhält das erste Element der dualen Basis.
Um das zweite Element zu erhalten setzt man und löst wieder das resultierende Gleichungssystem
Einheitsmatrix
Man kann auch die Matrix
betrachten.
Dann wendet man elementare Zeilenumformungen an, um etwas von der Form
zu erhalten.
Um das erste Element der dualen Basis zu erhalten, schreibt man dann die Matrix
auf und löst das Gleichungssystem.
Um das zweite Element der dualen Basis zu erhalten, schreibt man die Matrix
auf und löst das Gleichungssystem.