Closure as a closed Set

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(A \subseteq X\), so folgt, dass der Abschluss \(\overline{A}\) abgeschlossen ist.

Wegen der äquivalenz von Offenheit und Umgebung aller Punkte ist zu zeigen: \(X \setminus \overline{A}\) ist Umgebung aller seiner Punkte: Mithilfe eines Widerspruchsbeweis gilt: Falls ein \(x \in X \setminus \overline{A}\) existiert, so dass \(X \setminus \overline{A}\) keine Umgebung von \(x\) ist, so folgt, dass keine Umgebung \(U \subseteq X \setminus \overline{A}\) von \(x\) existiert und somit für jede Umgebung von \(x\) gilt:

\begin{align*} X \setminus A \subsetneq U_x \end{align*}

Daraus folgt, dass auch der Durchschnitt mit einer Umgebung von \(x\) nichtleer ist, und somit nach Konstruktion \(x \in \overline{A}\), was ein widerspruch zur Annahme ist.