Eigenwert und Nullstelle des charakteristisches Polynom
1. Satz
Sei \(V \cong K^n\) ein endlich erzeugter K-Vektorraum und \(A \in \mathrm{End}_{K}(V)\). Dann sind für \(\alpha \in K\) folgende Aussagen äquivalent:
- $α ist Eigenwert von \(A\)
- \(\alpha\) ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms: \(f_{A}(\alpha) = 0\)
2. Beweis
2.1. a) \(\Rightarrow\) b)
Sei \(\alpha\) ein eigenwert, so folgt, dass \(\alpha E - A\) kein Vektorraumisomorphismus ist, da ein Eigenvektor \(v\) existiert. Daraus folgt wegen der Invertierbarkeit einer Matrix in Abhängigkeit von der Determinante, dass \(\det(\alpha E - A) = 0\) ist
2.2. b) \(\Rightarrow\) a)
Wegen der Invertierbarkeit einer Matrix in Abhängigkeit von der Determinante folgt, dass \(\alpha E - A\) kein Vektorraumisomorphismus ist, d.h. es existiert ein Vektor \(v \neq 0\) mit $α v - Av = 0 \(\Leftrightarrow \alpha v = Av\), d.h. \(\alpha\)