Eigenwert und Nullstelle des charakteristisches Polynom

1. Satz

Sei VKn ein endlich erzeugter K-Vektorraum und AEndK(V). Dann sind für αK folgende Aussagen äquivalent:

2. Beweis

2.1. a) b)

Sei α ein eigenwert, so folgt, dass αEA kein Vektorraumisomorphismus ist, da ein Eigenvektor v existiert. Daraus folgt wegen der Invertierbarkeit einer Matrix in Abhängigkeit von der Determinante, dass det(αEA)=0 ist

2.2. b) a)

Wegen der Invertierbarkeit einer Matrix in Abhängigkeit von der Determinante folgt, dass αEA kein Vektorraumisomorphismus ist, d.h. es existiert ein Vektor v0 mit $α v - Av = 0 αv=Av, d.h. α

Date: nil

Author: Anton Zakrewski

Created: 2024-10-11 Fr 22:08