Preimages of neighbourhoods under continuous maps

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung.

\(f\) ist stetig
für \(f(x) \in X'\) und eine Umgebung \(U \subseteq X'\) ist das Urbild eine Umgebung von \(x\)

2. Beweis

2.1. a)

Sei \(f\) stetig und \(U' \in \mathcal{U}(x')\) für ein \(x' \in X'\), dann existiert eine offene Menge \(O' \subseteq U'\). Da \(f^{-1}[O']\) offen ist, folgt wegen \(f^{-1}[O'] \subseteq f^{-1}[U']\), dass \(f^{-1}[U']\) eine Umgebung ist.

2.2. b)

Sei \(O' \in \mathcal{T}'\), so ist \(O'\) Umgebung aller Punkte (vgl. Offenheit und Umgebung aller Punkte). Nach Annahme folgt damit, dass \(f^{-1}[O']\) Umgebung für beliebige \(U \subseteq f^{-1}[O']\) ist. Daraus folgt wieder wegen der Äquivalenz von Offenheit und Umgebung aller Punkte, dass \(f^{-1}[O']\) offen ist.