continuous map and subbasis

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\(f\) ist stetig
für eine Subbasis \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}'\) mit \(S \in \mathcal{S}\) folgt, dass \(f^{-1}[S] \in \mathcal{T}\) offen ist
für eine Basis \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}\) mit \(B \in \mathcal{S}\) gilt, dass \(f^{-1}[B] \in \mathcal{T}\) offen ist.

2. Beweis

2.1. a)

Da \(\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}'\) ist und für \(O \in \mathcal{T}'\) das Urbild \(f^{-1}[O] \in \mathcal{T}\) offen ist, gilt dies insbesondere für \(\mathcal{S}\) Analog auch für \(\mathcal{B}\)

2.2. b)

Für \(O' \in \mathcal{T}'\) existieren nach Annahme endlich viele \(S_i \in \mathcal{S}\) mit \(\bigcap_{i = 1}^n S_i = O\). Ferner folgt wegen der Eindeutigkeit einer Abbildung

\begin{align*} f^{-1}\left [ \bigcap_{i = 1}^n S_i \right] =& \bigcap_{i = 1}^{n} f^{-1}[S_i] \end{align*}

Da Nach Annahme ist \(f^{-1}[S_i]\) offen und wegen der Abgeschlossenheit gegenüber endlichen Schnitten (Topologie) damit auch dann \(\bigcup_{i = 1}^n f^{-1}[S_i]\). Daraus folgt die Stetigkeit

2.3. c)

folgt aus Basis as Subbase (topology)