Kriterium für ein Untermodul

1. Satz

Sei $M$ ein $R$-Modul und $U \subseteq M$ eine Teilmenge Dann ist $U$ ein Untermodul g.d.w. $U$ nichtleer und bezüglich Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Eigenschaften wie Distributivgesetze werden weitervererbt; $U$ als abelsche Gruppe folgt durch Multiplikation:

$0 = 0 \cdot u \forall u \in U$
Für $u \in U$ ist insbesondere $-1 \cdot u \in U$ und damit auch wegen Distributivität auch das inverse Element

Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation folgt direkt