Abgeschlossenheit der lokalendlichen Vereinigung von abgeschlossenen Mengen

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(A_i\) eine lokalendliches Mengensystem von abgeschlossenen Mengen Dann ist \(Y \coloneqq \bigcup_{i \in I} A_i\) abgeschlossen

Sei \(x \in X \setminus \bigcup_{i \in I} A_i\), so existiert nach Annahme eine Umgebung \(U \in \mathcal{U}(x)\), so dass bloß für endlich viele \(A_i\) gilt: \(A_i \cap U \neq \emptyset\) o.B.d.A. ist \(U\) offen und \(A := \bigcup_{i=1}^n A_{f(i)}\) die Vereinigung der \(A_i\) mit \(A_i \cap U \neq \emptyset\) (für eine indexfunktion \(f\)) \(A\) ist nach der Abgeschlossenheit endlicher Vereinigung von abgeschlossenen Mengen abgeschlossen. Damit folgt nach dem Komplement einer abgeschlossenen und offenen Menge, dass \(O_x := U \setminus A\) offen und nach Konstruktion disjunkt zu \(\bigcup_{i \in I} A_i\). Diese Konstruktion lässt sich für \(x \in X \setminus \bigcup_{i \in I} A_i\) fortsetzen, so dass folgt:

\begin{align*} \bigcup_{x \in X \setminus Y} O_x = X \setminus \bigcup_{i \in I} A_i \end{align*}

und aufgrund der Abgeschlossenheit gegenüber Vereinigung ist \(X \setminus \bigcup_{i \in I} A_i\) offen. Daraus folgt, dass

\begin{align*} X \setminus (X \setminus \bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} A_i \end{align*}

abgeschlossen ist