Vereinigung einer Kette linear Unabhängiger Teilmengen

Sei \(M\) ein $R$-Modul über einem Integritätsbereich \(R\) und \(A_i\) eine Familie von linear unabhängigen Mengen über einer streng totalgeordneten Indexmenge \(I\) mit \(A_i \subseteq A_{i'}\) für \(i \leq i'\). Dann ist

\begin{align*} L \coloneqq \bigcup_{i \in I} A_i \end{align*}

ebenfalls linear unabhängig

Sei \(\sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j\) für \(v_j \in L\) eine Linearkombination mit o.B.d.A. \(\alpha_j \neq 0\) - insbesondere liegt eine endliche Summe vor. Dann existieren für \(j \in \{1,...,n\}\) jeweils \(i_j \in I\) mit \(v_j \in A_{i_j}\). Nach der linearen Ordnung existiert ferner eine obere Schranke \(m \coloneqq \mathrm{max} \{i_j \vert j \in \{1,...,n\}\}\) und wegen der Teilmengenrelation gilt \(v_j \in A_k\). Da \(A_k\) lineare unabhängig ist folgt zudem \(\sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j \neq 0\)