set of module homomorphisms as abelian group

1. Satz

Sei \(R\) ein Ring und \(\mathrm{Hom}_{R}(M,N)\) die Menge der Modulhomomorphismen. Dann ist \(\mathrm{Hom}_{R}(M,N)\) eine abelsche Gruppe bezüglich

\begin{align*} (f + f')(m) = f(m) + f'(m) \end{align*}

für \(f,f' \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)\) und \(m \in M\)

2. Beweis

2.1. closed

Let \(f,f' \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)\), then for \(m_1,m_2\) and \(r \in R\), we get

\begin{align*} (f + f')(rm_1 + m_2) =& (f(rm_1 + m_2) + f'(rm_1 + m_2) \\ =& r \cdot f(m_1) + f(m_2) + r \cdot f'(m_1) + f'(m_2) \\ =& r \cdot (f(m_1) + f'(m_1) + \left( f(m_2) + f'(m_2) \right) =& r \cdot (f + f')(m_1) + (f + f')(m_2) \end{align*}

2.2. neutrales element

Folgt aus \(f = 0\)

2.3. inverses Element

Sei \(f\) gegeben, so ist zu zeigen, dass \(-f: m \mapsto - f(m)\) ein Modulhomomorphism ist.

2.4. kommutativ

Seien \(f,f' \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)\), so folgt für \(m \in M\)

\begin{align*} (f + f')(m) =& f(m) + f'(m) \\ =& f'(m) + f(m) \\ =& (f' + f)(m) \end{align*}

2.5. assoziativ

Let \(f_1,f_2,f_3 \in \mathrm{Hom}_{R}(M,N)\) and \(m \in M\), then

\begin{align*} ((f_1 + f_2) + f_3)(m) =& ((f_1 + f_2)(m) + f_3(m)) \\ =& f_1(m) + f_2(m) + f_3(m) \\ =& f_1(m) + (f_2 + f_3)(m) \\ =& (f_1 + (f_2 + f_3))(m) \end{align*}