local ring and non-units as maximal ideal

1. Satz

\(R\) ist ein lokaler Ring
\(R \setminus R^{\times}\) ist das maximale Ideal
es existiert ein striktes ideal \(\mathfrak{m} \subseteq A\) mit \(R \setminus R^{\times} \subseteq \mathfrak{m}\)

2. Beweis

2.1. 1) \(\implies\) 2)

Seien \(x,y \in R \setminus R^{\times}\) so gilt

\begin{align*} (x) \subsetneq& R \\ (y) \subsetneq& R \end{align*}

Ferner gilt auch \((x), (y) \subseteq I\), da sonst eine geeignete Erweiterung \(I'\) von \((x)\) existiert, so dass \(I\) ein maximales Ideal ist (vgl. Existenz eines maximalen Ideals) Analog für \((y)\). Aus der additiven Abgeschlossenheit folgt \(x + y \in I\) und aus \(x + y \in R^{\times}\) folgt ein Widerspruch, vgl. von einer Einheit erzeugtes Ideal und triviales Ideal)

2.2. 2) \(\implies\) 1)

Wir zeigen, dass \((R \setminus R^{\times})\) ein Ideal ist: Ferner ist dieses nicht der ganze Ring (vgl. von einer Einheit erzeugtes Ideal und triviales Ideal) Nach dem Kriterium für ein Ideal bei einem kommutativen Ring zeigen wir

2.2.1. nichtleer

folgt aus \(0 \in R \setminus R^{\times}\)

2.2.2. abgeschlossen gegenüber addition

folgt nach Annahme

2.2.3. abgeschlossen gegenüber Multiplikation

folgt aus der Abgeschlossenheit der Nichteinheiten gegenüber Multiplikation

2.2.4. maximal

Sei \(I'\) ein maximales Ideal, so folgt für \(a \in R^{\times}\) auch \(a \not\in I'\). Damit gilt \(I' \subseteq R \setminus R^{\times} = I\), d.h. es gilt \(I = I'\)

2.3. 2) \(\implies\) 3)

folgt aus \(\mathfrak{m} = R^{\times}\)

2.4. 3) \(\implies\) 1)

Dann folgt \(\mathfrak{m}\) als maximales ideal, da für \(a \in R \ \mathfrak{m}\) auch folgt \(a \in R^{\times}\) und somit

\begin{align*} (\mathfrak{m}, a) \supseteq (a) = R \end{align*}

bzw. kein echtes ideal