continuous map and restriction to the image

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung.

die Restriktion der Codomain auf eine Obermenge des Bildes \(Y \supseteq f[X]\) ist stetig bezüglich der Unterraumtopologie von \(Y \subseteq X'\)
\(f\) ist stetig

2. Beweis

todo: umschreiben

2.1. 1) \(\implies\) 2)

Sei \(O \subseteq X'\) offen, so ist \(O' \coloneqq O \cap f[X]\) offen in der Unterraumtopologie. Nach Annahme ist \(f^{-1}[O']\) offen und es folgt wegen der Aussage über das Urbild von der Vereinigung

\begin{align*} f^{-1}[O] =& f^{-1}[(O \cap f[X]) \sqcup (O \cap X' \setminus f[X])] \\ =& f^{-1}[O \cap f[X]] \cup f^{-1}[O \cap X' \setminus f[X]] \\ =& f^{-1}[O] \cup \emptyset \\ =& f^{-1}[O] \end{align*}

damit ist \(f\) stetig

2.2. 2) \(\implies\) 1)

Sei \(O \subseteq Y\) offen, so existiert ein offenes \(O' \subseteq X'\) mit \(O = O' \cap Y\) Dann folgt für das Urbild wegen der Aussage über Urbild und Schnitt

\begin{align*} f^{-1}[O] =& f^{-1}[O' \cap Y] \\ =& f^{-1}[O'] \cap f^{-1}[Y] \end{align*}

dabei ist \(f^{-1}[O']\) offen wegen der stetigkeit und \(f^{-1}[Y] = X\), da \(f^{-1}[Y]\) eine obermenge des bildes ist. Somit folgt

\begin{align*} f^{-1}[O] = f^{-1}[O'] \end{align*}

als offene menge