Übertragung von Umgebungen in der Unterraumtopologie

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(x \in X\). Sei \(U \subseteq X\) eine Umgebung von \(x\) und \(V \subseteq U\) eine Umgebung von \(x\) in der Unterraumtopologie. Dann ist \(V\) eine Umgebung in \(X\).

Nach Annahme existiert eine in \(U\) offene Menge \(V' \subseteq V\). Damit existiert eine offene Menge \(U'\) mit \(U' \cap U = V'\). Da \(U'\), \(U\) Umgebungen von \(x\) sind, folgt aus der Abgeschlossenheit des Umgebungssystems unter endlichem Durchschnitt, dass \(V'\) eine Umgebung von \(x\) ist und damit auch \(V\).