Vektorraumepimorphismus erhält Erzeugendensysteme

Satz

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(\varphi: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus.
TFAE:

Das Bild \(\varphi[M] \subseteq W\) jedes Erzeugendensystems \(M \subseteq V\) ist ein Erzeugendensystem von \(W\)
Das Bild \(\varphi[M] \subseteq W\) eines Erzeugendensystems \(M \subseteq V\) ist ein Erzeugendensystem von \(W\)
\(\varphi\) ist ein Vektorraumepimorphismus

Beweis

1) \(\implies\) 2)

trivial

2) \(\implies\) 3)

Sei ein Erzeugendensystem \(M\) gegeben, so dass \(\varphi[M] = \{b_i\}\) ein Erzeugendensystem von \(W\) ist.
Sei \(w \in W\), so existiert eine Linearkombination \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i\)
Nach Annahme existiert für \(b_i\) ein \(m_i \in M\) mit \(\varphi(m_i) = b_i\) (wenn auch i.A. kein eindeutiges \(m_i\))
somit folgt für

\begin{align*} \varphi( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i) =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(m_i) \\ =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i \\ =& w \end{align*}

3) \(\implies\) 1)

Sei \(w \in W\), so existiert nach Annahme ein \(v \in V\) mit \(\varphi(v) = w\).
Sei \(M\) ein beliebiges Erzeugendensystem, so existiert eine Linearkombination \(v = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i\) und nach Linearität folgt somit

\begin{align*} \varphi(v) =& \varphi(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i) \\ =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(m_i) \end{align*}

D.h. \(\phi[M]\) erzeugt beliebiges \(w \in W\)