Vektorraumepimorphismus erhält Erzeugendensysteme
1. Satz
Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(\varphi: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus. TFAE:
- Das Bild \(\varphi[M] \subseteq W\) jedes Erzeugendensystems \(M \subseteq V\) ist ein Erzeugendensystem von \(W\)
- Das Bild \(\varphi[M] \subseteq W\) eines Erzeugendensystems \(M \subseteq V\) ist ein Erzeugendensystem von \(W\)
- \(\varphi\) ist ein Vektorraumepimorphismus
2. Beweis
2.1. 1) \(\implies\) 2)
trivial
2.2. 2) \(\implies\) 3)
Sei ein Erzeugendensystem \(M\) gegeben, so dass \(\varphi[M] = \{b_i\}\) ein Erzeugendensystem von \(W\) ist. Sei \(w \in W\), so existiert eine Linearkombination \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i\) Nach Annahme existiert für \(b_i\) ein \(m_i \in M\) mit \(\varphi(m_i) = b_i\) (wenn auch i.A. kein eindeutiges \(m_i\)) somit folgt für
\begin{align*} \varphi( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i) =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(m_i) \\ =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i b_i \\ =& w \end{align*}2.3. 3) \(\implies\) 1)
Sei \(w \in W\), so existiert nach Annahme ein \(v \in V\) mit \(\varphi(v) = w\). Sei \(M\) ein beliebiges Erzeugendensystem, so existiert eine Linearkombination \(v = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i\) und nach Linearität folgt somit
\begin{align*} \varphi(v) =& \varphi(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i m_i) \\ =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \varphi(m_i) \end{align*}D.h. \(\phi[M]\) erzeugt beliebiges \(w \in W\)