Satz von Eisenstein

Sei \(R\) ein faktorieller Ring und \(Q(R)\) der Quotientenkörper und \(f = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i \in R[X]\) ein primitives Polynom mit grad \(n = \mathrm{deg}(f) > 0\).
Sei \(p \in R\) ein Primelement mit

\begin{align*} p \nmid& \alpha_n \\ p^2 \nmid& \alpha_0 \\ p \mid& \alpha_i && i \in \{0,...,n-1\} \end{align*}

Dann folgt, dass \(f \in R[X]\) irreduzibel ist.

Sei \(f\) reduzibel, d.h. es existieren \(g,h \in R[X] \setminus R[X]^{\times}\) mit

\begin{align*} f = g \cdot h \end{align*}

Seien \(g = \sum_{i=0}^{r} \beta_i X^i, h = \sum_{i=0}^{s} \gamma_i X^i\) mit \(r + s = \mathrm{deg}(f)\) (siehe Grad von Polynomen unter Multiplikation in einem Integritätsbereich), wobei \(r = \mathrm{deg}(g), s = \mathrm{deg}(h)\) und \(r,s \geq 1\) (vgl. primitiv)
Nach Annahme gilt dann

\begin{align*} p \nmid& \alpha_n = \beta_r \cdot \gamma_s \end{align*}

bzw. damit \(p \not\mid \alpha_n, \beta_r\) und

\begin{align*} p \mid& \beta_0 \cdot \gamma_0 = \alpha_0 \\ p^2 \nmid& \beta_0 \cdot \gamma_0 = \alpha_0 \end{align*}

o.B.d.A. gelte \(p \mid \beta_0\) und wegen \(p^2 \not\mid \beta_0 \cdot \gamma_0\) folgt dann, dass \(p \not\mid \gamma_0\).

Wähle \(t \in \{0,...,r-1\}\) maximal, mit \(p \mid \beta_i\) für \(i \in \{0,...,t\}\):
Wir können annehmen, dass \(p \not\mid \beta_{t+1}\), da für \(t = r-1\) auch \(p \not\mid \beta_r\) gilt wegen

\begin{align*} p\not\mid& \alpha_n \\ \alpha_n = \beta_{r} \cdot \gamma_s \end{align*}

Dann gilt für den \(t+1\)-ten Koeffizienten von \(f\)

\begin{align*} \alpha_{t+1} = \sum_{i=0}^{t+1} \beta_i \gamma_{t+1 - i} \end{align*}

Wegen \(p \not\mid \beta_{t+1}\) und \(p \not\mid \gamma_0\) folgt dann \(p \nmid \alpha_{t+1}\), da \(p \mid \sum_{i=0}^{t} \beta_i \gamma_{t - i}\).
Damit folgt wegen \(p \mid \alpha_i\) für \(i \leq n-1\) auch \(t + 1 = n\).
Ebenfalls folgt \(n = t + 1 \leq r\), Widerspruch zu \(s > 1\)