LinAlg 1 - Tut10
Erinnerung
wichtiger Hinweis
Ich habe (vermutlich) letzte Woche die Basiswechselmatrizen verwechselt:
Die Basiswechselmatrix 
ist gegeben durch
Und die Basiswechselmatrix 
ist gegeben durch das Inverse
Ich hatte (meine ich) diese anders herum
disclaimer
Diese Erinnerung dient primär als Hilfe für die Tutoriumsaufgaben.
Insbesondere ist diese weder vollständig (ich habe leider als Tutor auch keine genauen Informationen zu den Vorlesungsinhalten) noch i.A. korrekt (ich habe viele Zettel selber während des ersten Semesters geschrieben und selten gegengelesen, d.h. jedes Buch wird um Größenordnungen weniger Fehler beinhalten)
Vorrechnen
Sei
eine Basis von 
(das 
bedeutet, dass der Vektor transponiert, d.h. hier als Spaltenvektor gelesen werden soll)
Erklärung: Zeilenvektor / Spaltenvektor
duale Basis
Man schreibt 
als Zeilenvektoren auf und daneben einmal 
, hier 
Im folgenden kürze ich ab, indem ich rechts 
schreibe und später auf 
bzw. 
setze:
jetzt möchte ich den oberen linken Eintrag auf eine bringen und die restlichen linken auf eine .
Das erreicht man hier am besten, indem man Zeile 1 und 2 vertauscht
als nächstes möchte ich den mittleren unteren eintrag auf eine bringen und den mittleren eintrag auf eine (welcher hier schon eine ist)
Jetzt könnte man schon 
jeweils auswerten oder man kann den mittleren oberen eintrag auf eine bringen und dann auswerten.
Es erscheint mir, dass zweite Schritt etwas effizienter ist:
Jetzt werten wir aus:
hier setzen wir
und erhalten
bzw.
hier setzen wir
und erhalten
bzw.
hier setzen wir
und erhalten
bzw.
sanity check
Man kann auch
nachrechnen, um das Ergebnis zu kontrollieren
Hier steht 
für die Matrixmultiplikation oder äquivalent für das Skalarprodukt
So erhalten wir für 
was genau das ist, was erfüllen soll!
Basiswechselmatrix
Wir möchten die Basiswechselmatrix 
berechnen
Dafür schreiben wir die Basiswechselmatrix 
auf, welche gegeben ist durch
Diese Matrix korrespondiert übrigens zur Abbildung
um die Basiswechselmatrix zu berechnen, möchten wir diese invertieren:
Dazu schreiben wir die Einheitsmatrix rechts daneben und möchten über elementare Zeilenumformungen die linke hälfte auf die Einheitsmatrix bringen:
Das erhalten wir über
Dann ist
Die inverse matrix und somit auch die gesuchte Basiswechselmatrix
Aufgaben
Algorithmen
duale Basis
Sei 
gegeben mit
(das bedeutet, dass der Vektor transponiert, d.h. hier als Spaltenvektor gelesen werden soll)
Berechne die duale Basis
Wir schreiben
Dann setzen wir 
und erhalten
sowie
Als nächstes setzen wir 
und erhalten
sowie
Als letztes setzen wir 
und erhalten
sowie
Basiswechselmatrix
Berechne die Basiswechselmatrix sowie
a)
wir schreiben die drei vektoren nebeneinander auf und erhalten die Basiswechselmatrix
b)
Wir invertieren die Matrix
Und erhalten als inverse matrix
welche auch die Basiswechselmatrix ist.
rechnen in 
Löse das gleichungssystem
in mit dem Gauß verfahren
Nach lösen vom Gauß verfahren erhalte ich
Kern einer Matrix
Sei 
gegeben durch
berechne den Kern von 
(d.h. den Kern von dem zu korrespondierenden VR-Homo)
Dies erreicht man, indem man das LGS
löst
Ich erhalte als Lösung
für 
Bestimme die Lösung folgender Gleichungssysteme
Dabei soll eine Matrix
interpretiert werden als
im folgenden sei der Körper immer 
a)
Hier ist ganz eine Lösung
b)
ich erhalte
c)
hier erhalte ich
d)
hier erhalte ich
e)
für welche 
ist das Gleichungssystem lösbar ?
Beweisaufgabe
splitting lemma
Seien 
Vektorräume,
eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen, d.h.
sowie 
ist ein Monomorphismus und 
ein Epimorphismus
Zeige dass diese exakte sequenz zerfällt, d.h. VR-homomorphismen 
existieren mit
Folgere zudem, dass ein Iso 
existiert sodass
kommutiert
a)
Monos und Epis haben einseitige umkehrabbildung (habe ich im Tut9 angesprochen, alternativ: hier noch ein Bewies)
dimension von
Sei
eine exakte Sequenz von endlich dimensionalen Vektorräumen 
, d.h.
für 
Zeige
