LinAlg 1 - Tut14

Aspekte

Aufgabe

1)

Finde die Eigenwerte von

20250130-linalg_tut14_b4d3fe414dee96ea565ab41996c4775669cf0455.svg

bzw. in 20250130-linalg_tut14_f64c399f15d7efcc2672c70ddff6d8bc411fcd52.svg

und berechne die Eigenräume, geometrische sowie algebraische Vielfachheit

Lösung

ich erhalte:

  1. Charakteristisches Polynom 20250130-linalg_tut14_4a087e00268e23d916dbeae865be93361ad22a70.svg
  2. Eigenwerte: 20250130-linalg_tut14_a047a0fa92d41f108947ddec064b68775208dd01.svg, bzw. die dritten Einheitswurzeln (wobei nur 20250130-linalg_tut14_563677139024adcf70225f939292e485136f4013.svg liegt)
  3. die algebraische Vielfachheit & geometrische Vielfachheit ist jeweils 20250130-linalg_tut14_fb8599e75e4949ebbeac98a6abf5c72f2a8f18e5.svg

2)

Finde die Eigenwerte und Eigenräume von

20250130-linalg_tut14_c779580dd5fc14d1aaea45898c5dbfbb42976ee7.svg

Ist diese Matrix diagonalisierbar ?

Lösung

ich erhalte 20250130-linalg_tut14_67f6a89d0e2d9ad277d063e0f4d422d5b4fd0faa.svg als Eigenwerte

  • die algebraische bzw. geometrische Vielfachheit von 20250130-linalg_tut14_46213a69cc0fd8e7646d063f18a2b1b9e029e7db.svg ist 20250130-linalg_tut14_fb8599e75e4949ebbeac98a6abf5c72f2a8f18e5.svg
  • die algebraische vielfachheit von 20250130-linalg_tut14_fb8599e75e4949ebbeac98a6abf5c72f2a8f18e5.svg ist 20250130-linalg_tut14_c71c3e4c630ee26cdc07a485f439e89a01bce90a.svg, die geometrische dagegen nur 20250130-linalg_tut14_7c9087604fecfa49bec456cd9e6c1bc754cc8718.svg

eine mögliche Basis von Eigenvektoren besteht aus

  1. für 20250130-linalg_tut14_46213a69cc0fd8e7646d063f18a2b1b9e029e7db.svg: 20250130-linalg_tut14_841451dff027d774a7b195054b39d5be96f5b787.svg
  2. für 20250130-linalg_tut14_fb8599e75e4949ebbeac98a6abf5c72f2a8f18e5.svg: 20250130-linalg_tut14_6e5380870d66c7ce49b0d768e46ae37149805eeb.svg

Dabei ist 20250130-linalg_tut14_c37eab9ba023bec7c9a2c92bd283a7ee1c70b515.svg die Standardbasis

3)

Sei

20250130-linalg_tut14_0985acb85f932c66f15bea493848c08477a9a705.svg

Berechne 20250130-linalg_tut14_a7d1d9fbbfbc46642fd78952594095a7ac16ed71.svg

Tipp: diagonalisiere

Lösung

ich erhalte

20250130-linalg_tut14_3129358e3a788baf5ff76a053c91430f317ab31d.svg

und

20250130-linalg_tut14_1362830b2b21b7a411c37c771fef277f4f278c76.svg

4)

finde die Spur von 20250130-linalg_tut14_a7d1d9fbbfbc46642fd78952594095a7ac16ed71.svg

20250130-linalg_tut14_962cd1ffc1ead3064a78e7da45468c26f2b40d84.svg

Tipp: diagonalisiere

Lösung

ich erhalte

20250130-linalg_tut14_355baed0cc0a0bb0341f2bcad903423cb6880890.svg

Date: nil

Author: Anton Zakrewski

Created: 2025-02-13 Do 14:05