LinAlg 1 - Tutorium 14 (25/26)

Extra Aufgaben zum Homomorphiesatz / Gruppen

a)

Wir wollen Gruppen der Ordnung \(p\) für \(p\) prim klassifizieren:

a)

Sei \(G\) eine Gruppe.
Zeige, dass folgende Abbildung

\begin{align*} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\mathbb{Z},G) \cong& G \\ f \mapsto& f(1)\\ \end{align*}

eine Bijektion ist.

b)

Zeige:

Sei \(G\) eine Gruppe mit \(\vert G \vert = p\).
Dann folgt \(G \simeq \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\).

Hint: Konstruiere einen surjektiven Gruppenhomomorphismus \(\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow G\) mit \(\mathrm{ker}(\varphi) = \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\)

b)

Sei \(C = \{z \in \mathbb{C}^{\times} \vert \vert z \vert = 1 \}\) mit der multiplikativen Gruppenstruktur gegeben.
Finde einen Gruppenisomorphismus \(\mathbb{R} / \mathbb{Z} \cong C\)

c)

Seien \(G,G'\) Gruppen so dass \(\vert G \vert, \vert G' \vert\) teilerfremd sind.
zeige, dass \(\vert \mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(G,G') \vert = 1\)

Extra Wahr Falsch Aufgabne

Warnung

Bei den Beweisen in den Links

1) - wahr

Es existiert ein Gruppenhomomorphismus \(\varphi: \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\).

Beweis

Es gibt tatsächlich genau einen Gruppenhomomorphismus \(\varphi: \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\), nämlich die konstante Abbildung auf die \(0\).
Wir zeigen, dass es keine andere geben kann:
Also sei \(\varphi\) ein beliebiger Gruppenhomomorphismus.
Zuersteinmal gilt \(\varphi(0) = 0\).
Angenommen \(\varphi(1) = 1\), dann gilt \(0 = \varphi(0) = \varphi(1 + 1) = 1 + 1 = 2 \neq 0\), also ein Widerspruch.
Analog zeigt man, dass \(\varphi(2) = 2\) auch zu einem Widerspruch führt.

2)

die folgenden Links enthalten z.T. Ideen aus Kommutativer Algebra und sind vermutlich nicht Klausurrelevant.
Wenn euch das interessiert, könnt ihr mich gerne darauf ansprechen und ich erkläre es sehr gerne (Interesse für Kommutative Algebra gehört gefördert).

i)

F_p vector space is p-torsion abelian group

ii)

3)

Sei \(G\) eine Gruppe mit \(p\) vielen Elementen.
Dann gilt \(G \cong \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\)

see:

classification of groups of order p

4)

Seien \(G,G'\) Gruppen, \(U \subseteq G\) eine Untergruppe, \(\varphi: U \rightarrow G\) ein Gruppenhomomorphismus.
Dann existiert ein Gruppenhomomorphismus \(\overline{\varphi}: G \rightarrow G'\).

siehe beweis für: abelian group in general not an injective object