conjugation as group automorphism
1. Satz
Sei \(G\) eine Gruppe mit \(a \in G\) und sei \(f_a\) die Konjugation (Gruppe) mit \(a\). Dann ist \(f_a\) ein Automorphismus.
2. Beweis
2.1. Homomorphie
\begin{align*}
f_{a}(g_1)f_{a}(g_2) =& a^{-1}g_1aa^{-1}g_2a \\
=& a^{-1}g_1g_2a \\
=& f_{a}(g_1g_2)
\end{align*}
2.2. Bijektion
für \(a\) existiert ein eindeutiges inverses Element \(a^{-1}\), für \(a^{-1}\) ist das inverse element \((a^{-1})^{-1} = a\) (siehe:Eindeutigkeit des inversen Elements einer Gruppe)
Zudes gilt für beliebiges \(g \in G\):
\begin{align*} (f_{a^{-1}} \circ f_{a})(g) =& f_{a^{-1}}(a^{-1}ga) \\ =& (a^{-1})^{-1}a^{-1}gaa^{-1} \\ =& g \end{align*}Darus folgt
\begin{align*} (f_{a^{-1}} \circ f_{a}) =& \mathrm{id}_{G} \\ \end{align*}